Límites infinitos y límites al infinito.


Límites infinitos

En matematicas el simbolo  ∞  se lee infinito y se refiere una posición dentro de una recta de los números reales, no representa ningun número real.

Si una variable independiente X esta creciendo indefinidamente a traves de valores positivos, se escribe X—–>∞ ( que se lee: X tienden a menos infinito).

Definiciones

Se dice que $f(x)$ crece sin límite cuando $x$ tiende a $c$, que se denota$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=+\infty}$

Gráficamente se tiene:

Esta definición nos dice que es posible hacer $f(x)$ tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo $N$), tomando $x$ suficientemente cerca de$c$.

Se dice que $f(x)$ decrece sin límite cuando $x$ tiende a $c$, que se denota por$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c}}{f(x)}=-\infty}$, si para todo número real

Gráficamente se tiene que:

La definición anterior afirma que es posible hacer $f(x)$ menor que cualquier número negativo $N$, tomando $x$ suficientemente cerca de $c$.

Se dice que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $c$ por la derecha, y se escribe$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{+}}}{f(x)}=+\infty}$, si se cumple que a cada número positivo $M$ , (tan grande como se quiera), corresponde otro número positivo $\delta$, (que depende de $M$) tal que 

Similarmente, se dice que $f(x)$ tiende a $+\infty$ cuando $x$ tiende a $c$ por la izquierda y se escribe $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{-}}}{f(x)}=+\infty}$ si 0<c-x (Observe que $c-x$ es mayor que cero pues ya que $x\rightarrow c^{-}$).

-El comportamiento de la función $f$ definida por $f(x)=\displaystyle {\frac{1}{x-2}}$ cuando $x\rightarrow 2$, está regido por la definición anterior.

Recuerde la representación gráfica de esta función hecha anteriormente.

-Los símbolos $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{+}}}{f(x)}=-\infty}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{c^{-}}}{f(x)}=-\infty}$ se definen análogamente, escribiendo f(x) en vez de entonces

Gráficamente se tiene:

En esta representación gráfica se tiene que tanto al acercarnos a $c$ por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son negativos cada vez mayores, (mayores en el valor absoluto), es decir, se tiene que $f(x)\rightarrow -\infty\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow c^{-}$ y cuando $x\rightarrow c^{+}$

Definición
Se dice que $f(x)\rightarrow +\infty$ cuando $x\rightarrow +\infty$ es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=+\infty}$ si para cada número positivo $M$ existe otro número positivo $k$, tal que

Podríamos representar gráficamente este comportamiento de una función $f$ como sigue:

Observe que  y que 

Podemos anotar que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{+\infty}}{f(x)}=+\infty}$

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