Tipos de discontinuidades.


No todas las funciones son continuas.

Si una función no es continua en un punto se dice que la función tiene una discontinuidad.

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\ L^{-} \ne L^{+} \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; finito
De salto infinito

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; de \; salto \; infinito
Discontinuidad asintótica

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:

\left . \begin{array}{c} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \end{array} \right \} \quad Discontinuidad \; asint \acute{o} tica

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

  1. Existen los límites laterales pero no coinciden.
  2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
  3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Gráfica:

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